开始介绍本科时期学习的计算方法的内容,即求积分,求方程的根(普通的x元x次方程,方程组),所涉及到的基本步骤都是迭代循环之类的。

这个部分的程序都是C语言(极少部份C++语法)写的,system('pause')在linux下不管用。不知道为什么那时候写程序{都会换行,现在看起来好不习惯。

1.牛顿-柯特斯公式 (Newton–Cotes formulas)

后面要介绍的复化辛普森法和复化梯形法都是牛顿-柯特斯公式的特殊形式,所以先介绍一下牛顿-柯特斯公式的形式:

1.1.左边为啥能约等于右边呢?

这是根据拉格朗日插值法进行的推导计算。对于拉格朗日插值法的直观理解推荐看知乎马同学的回答

拉格朗日插值法构造了穿过已知的一组点的曲线的函数表达式。

那么对于一个定积分问题,我们可以简化成求解穿过a与b两个点的曲线与X轴的面积。

Trapezoidal_rule_illustration

这条曲线,可以根据a与b,采用拉格朗日插值法近似表示为 ,其中

带入求解定积分(这部分的具体推导可以翻墙看The Math Guy的视频)。

最后结果等于 ,将 看作 ,假设我们已知a,b以及a,b之间一系列的点,最终可以根据拉格朗日插值法得到牛顿-柯特斯公式。

上面简化成a与b两点的例子的结果就是梯形公式 简化成a,,b的三点的结果,就是辛普森公式

1.2.那么复化(composite)是什么意思呢 1

应用高阶牛顿-科特斯公式计算积分时,会出现数值不稳定的情况([龙格现象(Runge’s phenomenon)](https://en.wikipedia.org/wiki/Runge’s_phenomenon)),而低阶公式往往因为积分步长过大使得离散误差变大,因此,为了提高求积公式的精度,可以把积分区间分成若干个子区间,在每个子区间上使用低阶求积公式,然后将结果加起来,这种方法称为复化求积法

将区间[a,b]划分为n等分,步长为,节点为,在每个子区间使用梯形公式得:

, 其中

根据复化梯形公式的推导,同理可得复化辛普森公式为:

, 其中

上面这个公式对于n的取值有一些条件,辛普森法则是根据三个点的位置来推定曲线的函数表达形式,这时需要要求整个区间被分割成偶数份2,即n是偶数,公式可以写成

2.复化辛普森求积分

终于到了程序的部分,求 从a到b的积分。

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void main()
{   int n;//定义节点数 
    double a,b;//定义左右节点 
    printf("No.0001复化辛普森求积分(Simpson)\n\n输入节点数:");
    scanf("%d",&n);
    n=n-1; //计算几等分数 
    printf("输入左端点:"); 
    scanf("%lf",&a); 
    printf("输入右端点:");
    scanf("%lf",&b); 
   	double pi=3.1415927;
	n=n-1; //计算几等分数 
	double	h=(b-a)/(2*n);//计算步长
	int i,j;
	double x[2*n],y[2*n],t1=0,t2=0,t;
	x[0]=a; 
    x[2*n]=b;
	y[0]=1;//需要手动修改在左端点的值 
	y[2*n]=sin(pi/2)/(pi/2);//需要手动修改在右端点的值
	for(i=1;i<=2*n-1;i++) 
    {
        if(i*h<=b)x[i]=x[0]+i*h;
        }
	for(j=1;j<=2*n-1;j++)
	{
		y[j]=sin(x[j])/x[j];//需要手动修改
     	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
        t1=t1+4*y[2*i-1];
        }
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
	t2=t2+2*y[2*i];
    	}
	t=h/3*(y[0]+y[2*n]+t1+t2);//求积分 
	printf("\n步长h:%.7lf\n\n积分值t:%.7lf\n\n",h,t);
	printf("输出相对应的xy值:\n");
    for(i=0;i<=2*n;i++)
	printf("y=%.7lf---x=%.7lf\n",y[i],x[i]);
   	system("pause");
}

3.复化梯形求积分

接上,仍就求 从a到b的积分。


#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void main()
{   int n;//定义节点数 
    double a,b;//定义左右节点 
    printf("No.0002复化梯形求积分\n\n输入节点数:");
    scanf("%d",&n);
    n=n-1; //计算几等分数 
    printf("输入左端点:"); 
    scanf("%lf",&a); 
    printf("输入右端点:");
    scanf("%lf",&b); 
   	double pi=3.1415927;
	
	double	h=(b-a)/n;//计算步长
	int i,j;
	double x[n+1],y[n+1],t1=0,t;
	x[0]=a; 
    x[n]=b;
	y[0]=1;//需要手动修改在左端点的值 
	y[n]=sin(pi/2)/(pi/2);//需要手动修改在右端点的值
	for(i=1;i<=n-1;i++) 
    {
        if(i*h<=b)x[i]=x[0]+i*h;
        }
	for(j=1;j<=n-1;j++)
	{
		y[j]=sin(x[j])/x[j];//需要手动修改
     	}
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
        t1=t1+y[i];
        }
	t=h*(0.5*y[0]+0.5*y[n]+t1);//求积分 
	printf("\n步长h:%.7lf\n\n积分值t:%.7lf\n\n",h,t);
	printf("输出相对应的xy值:\n");
    for(i=0;i<=n;i++)
	printf("y=%.7lf---x=%.7lf\n",y[i],x[i]);
   	system("pause");
}

其实上面的程序写得都很烂,没有参考文献中的这个好。


#include<stdio.h>
#include<math.h>
double Function(double x)//所要计算积分的函数f(x)
{
    if(x==0)//sin(x)/x在0处的取值为1
        return 1;
    else
        return sin(x)/x;
}
//复化梯形公式
double Trapz(double a,double b,int n)
{
    double h=(b-a)/n;
    double T=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        T=T+Function(a+i*h);
    }
    T*=2;
    T=(Function(a)+Function(b)+T)*h/2;
    return T;
}
//复化辛普森公式
double MulripleSimpson(double a,double b,int n)
{
    double h=(b-a)/n;
    double T=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        T=T+Function(a+i*h)+4*Function(a+(i+0.5)*h)+Function(a+(i+1)*h);
    }
    T=T*h/6;
    return T;
}
void main()
{
    printf("使用复化梯形公式可得:%f\n",Trapz(0,1,8));
    printf("使用复化辛普森公式可得:%f\n",MulripleSimpson(0,1,4));
}

当年为了做这个作业,我的还搞了个整合代码(网上找了的程序,修改了一下),还包含了中矩形公式。

//数值分析--数值积分公式 
#include"iostream.h"
#include"math.h"
double c[10][10];
double f(double x)
{
  double sum=0;
  if(x==0) return 1;
  sum=sin(x)/x;//计算公式 
  return sum;
}
void initcotes(double c[][10])
{
  c[1][0]=c[1][1]=0.5;
  c[2][0]=c[2][2]=1.0/6.0;c[2][1]=2.0/3.0;
  c[3][0]=c[3][3]=1.0/8.0;c[3][1]=c[3][2]=3.0/8.0;
  c[4][0]=c[4][4]=7.0/90.0;c[4][1]=c[4][3]=16.0/45.0;c[4][2]=2.0/15.0;
  c[5][0]=c[4][5]=19.0/288.0;c[5][1]=c[5][4]=25.0/96.0;c[5][2]=c[5][3]=25.0/144.0;
}
int Trapezoid(double a,double b)
{
  cout<<"梯形公式的结果:"<<(b-a)*(f(a)+f(b))/2<<endl;
  return 1;
}
int MidRect(double a,double b)
{
  cout<<"中矩形公式的结果:"<<(b-a)*f((b+a)/2)<<endl;
  return 1;
}
int NewtonCotes(double a,double b)
{ 
  int n,k;double h;
  cout<<"请输入n的值(n值最多到5):";
  cin>>n;
  if(n>=6)
  cout<<"注意n值最多到5"<<endl;
  else{ 
  h=(b-a)/double(n);
  double sum=0;
  for(k=0;k<=n;k++)
   sum+=c[n][k]*f(a+k*h);
  cout<<"牛顿-柯特斯公式的结果:"<<(b-a)*sum<<endl;}
  return 1;
}
int STrapezoid(double a,double b)
{ 
  int n,k,q;double h;
  cout<<"1--复化梯形公式"<<endl;
  cout<<"2--复化辛普森求积公式"<<endl;
  cout<<"输入你想进行的操作:";
  cin>>q;  
  cout<<"请输入n的值:";
  cin>>n;
  h=(b-a)/double(n);
  double sum=0;
  sum+=(f(a)+f(b));
  for(k=1;k<=n-1;k++)  sum+=2*f(a+k*h);
 if(q==1)
 {
  cout<<"复化梯形公式的结果:"<<(h/2)*sum<<endl;
  return 1;
 }
  for(k=0;k<n;k++)
   sum+=4*f(a+(k+0.5)*h);
  cout<<"复化辛普森求积公式的结果:"<<(h/6)*sum<<endl;
  return 1;
}
void main()
{ cout<<"No.0003数值分析--数值积分公式"<<endl;
  double a,b;
  int p;
  cout<<"请输入积分的下限:";
  cin>>a;
  cout<<"请输入积分的上限:";
  cin>>b;
  initcotes(c);
  while(1)
  {
    cout<<"0--退出"<<endl;
 cout<<"1--梯形公式"<<endl;
 cout<<"2--中矩形公式"<<endl; 
 cout<<"3--牛顿柯特斯公式:"<<endl; 
 cout<<"4--复化公式"<<endl;
 cout<<"输入你想进行的操作:";
 cin>>p;
 switch(p)
 {
 case 1:Trapezoid(a,b);break;
 case 2:MidRect(a,b);break;
 case 3:NewtonCotes(a,b);break;
 case 4:STrapezoid(a,b);break;
 }
 if(p==0)  break;
  }
}

参考资料